La formule de base est τ = F / A — la contrainte de cisaillement est égale à l’effort appliqué divisé par l’aire qui résiste à cet effort. Cela donne la contrainte de cisaillement moyenne pour le cas le plus simple : une fixation ou un axe chargé transversalement. Les géométries plus complexes — poutres, arbres en torsion, sols — utilisent des variantes différentes de la même idée sous-jacente, traitées plus bas.
La formule de base
τ = F / A
- τ = contrainte de cisaillement (N/mm² ou lbs/in²)
- F = effort appliqué (N ou lbs)
- A = aire résistant au cisaillement
Cisaillement simple : boulon ou axe
Pour une fixation ronde chargée en cisaillement simple (un plan de cisaillement), l’aire est la section transversale de la fixation :
τ_moy = F / (π r²) = 4F / (π d²)
- r = rayon, d = diamètre
Exemple chiffré
Un boulon de 10 mm de diamètre cède en cisaillement sous une charge de 20 000 N.
Aire de cisaillement : A = π(10)² / 4 = 78,54 mm²
Contrainte de cisaillement : τ = 20 000 / 78,54 ≈ 254,6 MPa
Il s’agit d’un calcul d’exemple pour illustrer la méthode, non d’une propriété mesurée du matériau — la résistance au cisaillement réelle d’une classe de boulon donnée doit provenir de la spécification du fabricant ou d’un essai matière, et non être rétro-calculée à partir d’une charge de rupture supposée.
Pression de matage : la vérification à ne pas sauter
Le cisaillement n’est pas le seul mode de défaillance à vérifier sur un assemblage boulonné ou à axe — le matériau de la plaque ou de l’équerre autour du trou peut aussi céder par matage (le trou s’ovalise ou le matériau s’écrase). L’équation de la contrainte sur l’aire de matage :
Bt = F / (t × d)
- Bt = contrainte sur l’aire de matage (N/mm² ou lbs/in²)
- t = épaisseur de la plaque/équerre
- d = diamètre de la fixation
Vérifier uniquement le cisaillement et sauter la vérification du matage est un oubli courant — un assemblage peut passer le calcul de cisaillement et malgré tout céder par ovalisation du trou dans une plaque plus mince.
Double cisaillement
Une fixation chargée en double cisaillement (deux plans de cisaillement, comme un axe de chape traversant un assemblage à fourche) résiste au même effort sur une aire double. La formule ne change pas, seule l’aire change : utilisez l’aire combinée des deux plans de cisaillement (le double de l’aire en cisaillement simple), ce qui divise par deux la contrainte de cisaillement calculée pour le même effort appliqué.
Variantes de la formule selon l’application
La forme F/A ne s’applique directement qu’aux chargements de cisaillement simples et uniformes. D’autres cas courants nécessitent leur propre formule :
| Application | Formule | Remarques |
|---|---|---|
| Boulon/axe, cisaillement simple | τ = 4F/(πd²) | Traité ci-dessus |
| Poutre (cisaillement transversal) | τ = VQ/(It) | V = effort tranchant, Q = moment statique, I = moment d’inertie, t = largeur — pas simplement V/A |
| Arbre en torsion | τ = Tr/J | T = couple, r = rayon, J = moment d’inertie polaire |
| Sol (Mohr-Coulomb) | τ_f = c + σ’·tan(φ) | c = cohésion, σ’ = contrainte normale effective, φ = angle de frottement interne |
Ces variantes dépassent le cadre du calcul d’une seule fixation — chacune a sa propre démonstration et ses propres hypothèses. Si votre application est une poutre, un arbre ou une condition de sol plutôt qu’un simple assemblage axe/boulon, utilisez la formule correspondante plutôt que de forcer τ=F/A sur une géométrie à laquelle elle ne convient pas.
Estimer la résistance ultime au cisaillement à partir de la résistance à la traction
Lorsque la résistance au cisaillement d’un matériau n’est pas directement disponible, une approximation d’ingénierie couramment utilisée est :
Résistance ultime au cisaillement ≈ 0,6 × résistance ultime à la traction (UTS)
Une variante apparentée utilise 0,57 × la limite d’élasticité en traction (TYS), dérivée d’une approche simplifiée de von Mises / énergie de distorsion.
Il s’agit d’une estimation empirique issue de la discussion d’ingénierie, non d’une norme ni d’un substitut à des données matière issues d’essais. Pour toute application porteuse ou critique pour la sécurité, utilisez la résistance au cisaillement réelle du matériau tirée d’une fiche technique ou d’une norme (l’ASTM spécifie plusieurs méthodes d’essai de cisaillement, dont l’ASTM B769), et non cette approximation.
Ce qu’il faut savoir avant de calculer quoi que ce soit
La formule seule ne suffit pas : il faut savoir quel mode de défaillance on vérifie réellement (cisaillement, matage ou flexion), combien de plans de cisaillement possède l’assemblage (simple ou double) et si la géométrie est un simple axe/boulon, une poutre, un arbre ou tout autre chose. Se tromper de formule pour la géométrie est une erreur plus fréquente que de se tromper dans l’arithmétique au sein de la bonne formule.
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